基于激光点云数据的叶片型面三维重构
宋俊芳, 孙 彬, 蒲媛媛, 许晓宇, 王腾蛟
(1.西藏民族大学 信息工程学院,陕西 咸阳 712082；
2. 西安工业大学 光电工程学院, 陕西 西安 710021)
叶片作为精密设备的关键零件,其表面加工的几何精度直接影响着部件的工作性能。随着叶片型面的加工制造越来越复杂,截面几何尺寸越来越轻薄,前后缘越来越小,其制造精度要求也越来越高,例如某压气机叶片前后缘的设计尺寸要求≤0.1 mm,型面轮廓精度≤0.03 mm。这些都对叶片的制造和检测提出了挑战[1～3]。随着激光传感器的发展和应用,线性激光扫描传感器的快速扫描可以获得叶片表面的大量点云数据,点云数据需要经过点→线→面的数学模型处理,由离散点云拟合出光顺曲线,然后根据所建立的曲线,用蒙皮法或扫掠法重建曲面,最后利用整个叶片表面的统一描述方法,建立了精确光滑的曲面[4,5]。
为了提高曲面的重构质量,相关学者对曲线、曲面的拟合方法进行了广泛深入的研究。随着计算机辅助几何设计(CAGD)技术的迅速发展,自由型曲线、曲面的表达经历了Ferguson双三次曲面片[6]、Coons双三次曲面片[7]、贝塞尔方法[8]、B样条方法[9]等发展到当前普遍流行的NURBS(non-uniform rational B-splines)方法[10]。
20世纪80年代后期,Piegl L A提出的非均匀B样条(NURBS)方法[11],已成为用于曲线、曲面描述的最流行的数学方法。朱心雄等[12]对自由曲线曲面造型技术进行了深入探讨；
许晓兰等[13]利用数据点特征的提出了一种NURBS曲面重构方法；
Chouychai B[14]提出采用正切函数的应用,可以有效减少NURBS曲线和曲面拟合方程中求逆矩阵的大小；
Shafieipour M等[15]尝试以新三角形正交局部修正方法制定的规则来生成NURBS曲面;孔德明等[16,17]提出了一种基于分数阶傅里叶变换的NURBS曲面拟合方法,利用分数阶傅里叶变换滤波及反插节点法对拟合曲面形状进行优化以提高拟合精度;田小强等[18]利用离散平稳小波变换改进NURBS二次曲面拟合方法。
本文以NURBS曲线曲面为基础, 通过激光传感器采集海量的点云数据, 对叶片型面的三维重建过程展开了进一步的深入研究。
2.1 曲线光顺准则
叶片型面检测点云数据经过去噪、滤波前期处理后,首先拟合出截面曲线,为后续曲面的3D重构做准备。曲线拟合根据应用需求不同,需要遵循一些准则。针对叶片截面曲线,本文选用的光顺性准则如下:
(1) 曲线二阶几何连续；
(2) 曲线曲率变化较均勾；
(3) 曲线没有拐点和奇点；
(4) 曲线应变能较小。
曲线二阶几何连续,即要求叶片的截面线上叶盆、叶背、前缘、后缘各点满足几何二阶连续,包括曲线的位置连续、一阶切矢连续和曲率连续,因此，准则第(1)条是曲线的局部要求标准。曲线光顺准则的第(2)、(3)条描述了对截面线整体形状的控制标准。叶盆和叶背曲线的曲率变化较为规则,通常曲线只有一个曲率最大值点,并且曲线曲率沿两端逐渐减小,在拐点处曲率为零。在截面线出现拐点或者曲率发生大幅度变化的地方,曲线的形状会发生较大的改变。按照叶身截面线的设计准则,整个叶身截面线共有4个拐点,位于前缘、后缘圆弧与叶盆、叶背曲线的切点附近。其中准则(2)是控制截面线曲率的局部极值；
准则(3)是控制截面线的凹凸变化；
准则(4)表示曲线应变能较小,是能量法的基本原则。
2.2 端点一阶导矢连续法曲线光顺
根据曲线的几何理论,如果曲线的端点导数发生变化,曲线会出现不规则区域,即曲线的形状发生了很大的变化。根据曲线不规则性的分布,曲线不规则性一般可分为连续“坏点”和分散“坏点”两类。在曲线光顺前,先计算出曲线各端点导矢,找到“坏点”邻域的型值点,通过构建辅助曲线,就可以识别出曲线中部分连续的“坏点”。
定义曲线的型值点为{Bk},(k=0,1,…,n),假设D0和Dn是曲线首尾两个端点的一阶导矢。根据曲线拟合理论,把型值点通过插值函数拟合为一条NURBS曲线:
(1)
(2)
式(2)建立的线性方程组是以控制点Pi为未知量的。其中式中有n+1个方程和n+3个未知控制点,因此上述方程属于超静定方程,解此方程必须再建立另外两个方程。从首末端点的一阶导矢和相邻两个控制顶点的数学关系可以得到：
(3)
(4)
通过将上述2个方程与方程(2)相联立,可以得到具有系数矩阵为(n+3)×(n+3)的线性方程组,并且通过求解该系统可以得到n+3个控制点的坐标。已知Pi的坐标是三维结构,因此需要求解3个这样的线性方程组才能求出控制点Pi。
在进行曲线不光顺即曲面缺陷区域识别时,需要首先确定曲面待光顺的区域。本文叶片轮廓面测量系统的精度为2 μm,其中规定不光顺的点是曲线拟合时与曲线的距离大于3 μm的型值点。根据航空发动机叶片截面线的设计特征,叶背和叶盆曲线上曲率发生突变的型值点就是不光顺的点。通过上面的公式,先求出截面曲线上所有测点的曲率, “连续坏点”的区域就是曲率图中曲率变化频繁的区域。
设曲线C(t)为由型值点{Bi},(i=0,1,…,n)而拟合成的3次NURBS曲线,参数为ti(i=1,…,n)。它的k个“连续坏点”为Bi,…,Bi+k,曲线光顺的步骤如下：
图1 叶片型面曲线光顺过程Fig.1 Blade profile curve smooth process
叶片型面曲线光顺过程如图1所示。在图1(a)中可以看到具有连续不规则的原始曲线。标定的曲率梳表示曲线在中间弯曲,曲率突变较大。通过图1(b)确定要光顺的区域,然后通过拟合区域两端的类型点来获得更光顺的曲线。构造出一个辅助样条曲线,它满足两端导数光顺曲线的一阶导数连续性。如图1(c)所示,用等参数法将辅助样条曲线的点替换为原始不规则点。图1(d)为光顺后曲线的曲率图。
3.1 曲面光滑准则
形成曲面网格的曲线光顺程度,从某种程度上来说可反映曲面的光顺性,然而构成曲面网格的曲线光顺度好并不能完全代表曲面就一定光顺,由于曲面的光顺性较为复杂,表面的曲率需要被评估和分析以确定表面的平滑度。具体评价准则如下：
(1) 构成曲面的网格曲线的光顺性达到要求；
(2) 网格曲线没有多余的拐点和突变点；
(3) 节点的主曲率跳跃较小；
(4) 表面的高斯曲率分布是均匀的和稳定的;
(5) 相邻拼接曲面边界线至少二阶连续。
准则第(1)条所指的曲面网格曲线对于叶片型面来讲是指其截面曲线和与截面线垂直的曲线。准则第(2)条中的网格曲线一般是指曲面沿U和V两个方向上的曲线; 若这两个方向上的曲线满足曲线光顺性要求,故一般可以认为曲面已经较为光顺。但在实际操作中,曲面一个方向上曲线的变化会影响到另一个方向上曲线的控制点。由于过曲面上一点的法线存在无限多个剖切平面,剖切平面与曲面交线在此点的曲率的最大值和最小值,反映了曲面在这一点的不同方向的不同弯曲的程度。那么此处曲率的最大值和最小值成为曲面的主曲率,两个主曲率的乘积就是高斯曲率。准则中第(3)条和第(4)条是对曲面形状变化的限制。准则第(5)条是说拼接曲面的边界线时,需要满足位置连续、曲率连续和一阶切矢连续。
3.2 截面曲线的NURBS曲面拟合
将点云数据{Bk,l},k=0,1,…,n,l=0,1,…,m插值为一张非均勾有理B样条曲面：
(5)
曲面控制点的计算方法如下：
NURBS曲线拟合过程如图2所示。曲面控制顶点的求解通常先沿U向对点云数据{Bk,l}进行插值,求出曲线的控制点云{Ri,l},见图2(b)。然后,沿另一个方向插值控制点{Ri,l}得到曲面的控制点{Pi,l},见图2(c),也即是先后求解方程组：
(6)
(7)
式中：Ni,t(u)为t次规范B样条基函数；
Nj,q(v)为q次规范B样条基函数。
图2 NURBS曲面拟合过程Fig.2 NURBS surface fitting process
曲面拟合的完成依赖于曲线拟合,参数的求解以及曲面的描述等同于曲线拟合过程。通过描述NURBS自由曲面的矢量来确定张量积形式,那么曲面的生成可以分成两个步骤：第1步是沿着其中一个矢量方向对测量数据点进行NURBS曲线逼近；
第2步是对于已生成的曲线的控制顶点再进行另外一个矢量方向上的逼近,并最终生成的控制点网格即为NURBS自由曲面的控制点。
3.3 基于构建辅助平面的曲面光顺
拟定曲面以矢量的张量积形式表示,在曲面的U、V两个方向上都以曲线的形式表达。根据叶片型面特征及激光扫描测量路径规划,在U方向上,型值点构成了叶片型面的截面曲线。而在V向上,型值点仍然没有特定的规律,那么基于U向的截面线光顺无法保证曲面足够光顺。
如果要构造出一张空间双三次B样条曲面,通过测量点云数据给定的曲面型值点Bi,j,i=0,1,…,n;j=0,1,…,m,可以按照数据点云的空间分布,取一个方向为以u为参数的截面曲线参数方向,以v为参数的控制曲线参数方向为另一方向,确定出两个参数方向的节点矢量U和V。依据上文所描述的B样条曲线光顺算法,先在节点矢量U上求出光顺的截面线和它的控制顶点Di,j,i=0,1,…,n+2;j=0,1,…,m+2。最后在节点矢量V上求出控制顶点Ri,j,i=0,1,…,n;j=0,1,…,m及其控制曲线就得到了所求B样条插值曲面的(m+3)(n+3)个控制顶点。
在对曲面进行光顺前,需要先对控制曲线进行光顺,把光顺后的控制顶点生成截面曲线,然后再对截面曲线进行光顺。由于控制曲线和横截面曲线的光滑是相互影响的,所以曲面的光滑应该在两个方向上交替进行,直到所有曲面的横截面线和控制曲线都达到光滑。
曾有许多学者对重构曲面的光顺方法进行研究,分片能量法[19,20]就 是应用较广泛的方法之一,使表面光滑化问题转化为无约束优化问题成为可能。构造的目标函数为
(8)
由于该目标函数的表达形式颇为复杂,一旦曲面控制顶点的数目过百,系数矩阵元素的数据将突破亿,所以计算量会巨大。分片能量法也称为能量逐步优化法,其原理是将曲面的控制顶点分组,再依次调整各组控制顶点,将曲面的能量逐步地下降,来达到曲面光顺的目的。当调整某一组的控制顶点时,其余控制顶点将保持不变,这样不仅简化了能量法的计算过程,而且可以在保持一定的边界条件下进行曲面光顺。然而分片能量法能够达到整个曲面的绝对曲率较小,具有将曲面变为平面化的趋势。并且数学表达公式和计算量较为繁琐,不便于工程应用和操作。本文以局部双三次曲面插值理论为指导,通过构建辅助平面进行曲面光顺。
构建辅助曲面过程如下：由局部双三次曲面插值理论可知,通过插值给定旳型值点云可以得到一个在U和V两个方向都满足几何一阶连续的双三次NURBS曲面。对于给定型值点的数据数列Bi,j,i=0,1,…,n;j=0,1,…,m,可以生成一个双三次NURBS曲面：
(9)
式中：Pi,j代表点云数据；
通过创建m×n个双三次贝塞尔曲面片{Bk,l(u,v)},k=0,1,…,n-1,l=0,1,…,m-1来得到该插值曲面。
插值曲面构造的具体步骤如下：
(1) 根据己知型值点求出曲面网格对应的U向和V向的节点参数值及节点矢量；
(2) 依次对给定的m+1行和n+l列数据点进行三次曲线插值计算,就可以得到双三次贝塞尔曲面片边界控制点；
(3) 运用贝塞尔曲面的角点偏导矢公式和混合偏导矢公式得到双三次贝塞尔曲面的4个内部控制点；
(4) 只保留(2m+2)(2n+2)个控制点,除去插值曲面网格内部所有包含原始型值点的行和列上的控制点,即是NURBS曲面的控制点。其中节点矢量为
(10)
(11)
待辅助曲面构造完成后,可对曲面进行光顺,其过程如下：
(1) 首先进行曲面粗拟合,通过设置阈值,分析曲面确定出不光顺区域,根据航空叶片的加工制造要求,定义曲面与型值点的距离大于>0.02 mm即为不光顺区域；
(2) 在曲面的不光顺区域构建U向和V向网格线,然后除去不光顺曲面片保留U向和V向网格线；
(3) 在曲面的不光顺区域,对U向和V向网格线进行局部光顺；
(4) 以光顺后的一向网格线为主曲线族,另一向网格线为引导曲线,构建辅助曲面,满足辅助曲面与原始曲面在边界处符合几何一阶连续条件。
图3为曲面光顺过程。
图3 曲面光顺过程Fig.3 Smooth curved surface process
图3(a)中的原始曲面大部分区域较为光顺,中部有部分区域的曲率发生突变。
图3(b)中沿法向切除原始曲面中不光顺区域，对曲面进行网格化,求出U向和V向的节点参数值及节点矢量,然后运用第2.1节曲线光顺的方法,对曲率突变区域的网格线进行局部光顺,最后通过光顺的网格线构建辅助曲面,并将辅助曲面与原曲面缝合得到新的曲面。
图3(c)为调整控制点后截面光顺曲线。由图3(d)可知,构造的辅助曲面与原曲面进行缝合后,辅助曲面与原曲面拼接处曲率光滑过渡,通过软件检查辅助曲面与原始曲面的法向距离是否小于设定阈值,如果满足,则整个曲面较为光顺；
否则需要重新调整网格线的控制点,直到误差符合设定要求。构造的辅助曲面需要满足曲面片的二阶几何连续性要求,并且曲面片拼接处设置几何一阶连续条件,满足拼接曲面的连续性要求。
根据复杂曲面零件的测量要求,研制了激光扫描四坐标测量仪。测量系统总体结构设计布局如图4所示。
四坐标测量仪的主体由X、Y、Z这3个垂直坐标轴和转台W组成,各轴均由伺服电机控制精密滚珠丝杠运动,轴上装配的雷尼绍光栅尺可以精确定位坐标系位置。安装在X轴上的激光位移传感器,在电机的驱动下可以对放置在回转台上的被测物件进行采样检测。坐标轴系统整体精度≤2 μm,承载≥50 kg。
图4 激光四坐标叶片测量系统Fig.4 Laser four coordinate measuring system for blade detection
控制系统主要功能有：编制测量软件控制测量系统的X、Y、Z轴直线运动以及W轴的回转运动,通过以上运动的联动,使激光位移传感器采集到叶片型面上需要检测的位置,并准确读取传感器和光栅尺的数值,从而实现零件型面三维空间点云数据的采集。利用Visual C++编程工具,基于OpenGL技术编制的专用软件,可以实现数据采集、运动控制、三维显示等功能。
由于四坐标测量法是利用激光进行测量,避免了探头与叶片表面直接接触的问题,也避免了对探头进行补偿的需要,特别适合于细小叶片的测量。激光扫描法具有测量精度高,检测速度快,抗干扰能力强,且具有快速准确的三维空间描绘能力。
叶片型面通过激光扫描采集后,需要进一步将这些点云数据构造出具有量化品质和光滑性的三维曲面。通常先进行滤波处理去掉冗余的点云数据,减少数据处理运算负担；
再对控制点进行修改、节点重新参数化、曲线曲面光顺处理等曲面造型,三维重构过程如图5所示。
图5 四级压气机叶片型面测量点云重构过程Fig.5 Point cloud reconstruction process of four stage compressor blade profile measurement
图5中：(a)为原始点云；
(b)为滤波处理；
(c)为特征曲线拟合；
(d)为曲面重构；
(e)为俯视图。结果表明:最大重建误差为0.014 5 mm,最小为0.003 3 mm。由此可见本方法对叶片表面三维重构具有较好的效果。
针对某型号航空发动机压气机的四级叶片进行实验,根据空间测点到曲面的最小距离对拟合出的曲面模型进行误差评定,部分实验数据见表1。
表1 重构误差数据表(部分)
针对自由复杂叶片型面3D检测的需求,研究了基于激光扫描点云的叶片型面三维重构方法。通过激光位移传感器对叶片表面进行大量的点云数据扫描和采集。利用点→线→面的数学建模原理,采用一阶导数连续法对光顺曲线进行点云拟合,基于截面曲线对NURBS曲面进行拟合,然后采用曲面网格分片能量法平滑重构3D曲面。实现了对整个叶片表面的均匀描述,构造出精确光滑的叶片型面。实验结果表明,采用本方法实现对叶片型面类目标的三维重构,重构误差均<0.015 mm,具有较高的重构精度。
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