亲历过程促概念形成积累经验助思维发展

胡允社

【摘 要】 数学概念是发展思维、培养数学能力的基础，具有抽象性的特点。在数学概念的教学中，教师要依据学生的心理特征、知识背景和认知规律，处理好数学概念的抽象性与学生思维的形象性之间的矛盾，为学生提供探究的空间，引导学生经历概念本质特征的概括过程，从中体验数学家概括数学概念的历程，以此培养学生的创新精神和实践能力，积累数学活动经验，从整体上促进学生数学素养的提高。

【关键词】概念教学   经历过程   活动经验   数学能力

数学概念是数学教学的重要内容，也是学生认知、判断、理解和解决问题的基础，是数学基本技能形成与提高的必要条件。小学数学是一门概念性很强的学科，在教学数学概念时，教师要明确概念教学并非直白地告诉，也不能单纯地理解成学生会解决几个问题，而是要使概念的呈现体现层次性，为学生提供充分的探究空间，引导学生自主探究、合作交流，让学生在经历“数学化”和“再创造”的过程中理解数学概念的发展和形成过程，进而理解概念本质，发展学生的数学思维、培养数学能力。

一、重直观，化抽象为形象

数学概念的理解与掌握，往往需要经历一个由生动的直观表象到抽象的思维，再从抽象思维到实践运用的过程。在整个小学阶段，教材中大部分概念没有严格的定义，而是从学生所了解的实际事例或已有的知识经验出发，尽可能通过直观的具体形象，帮助学生认识概念的本质属性。但对小学生来说，数学概念还是抽象的。因此，在概念教学中要加强直观教学，以学生的感性经验为基础，让学生经历一个主动的、复杂的思维过程，通过自己的观察、操作、思维活动逐步建立起事物一般的表象，分出事物主要的本质特征或属性，并从感性上升为理性，进而把握概念的内涵和外延。

例如，在教学《平行与垂直》这节课时，为了让学生理解“平行线”的抽象含义，体会“不相交”的真正内涵，笔者和学生一起经历了如下的探究过程：

1.认识“相交”和“不相交”

（1）收集展示：教师收集学生将直线“平移和旋转”后画在纸上的情况。

（2）分类讨论：根据他们的位置关系，你能给他们分类吗？

（3）反馈交流：在多种方法的辨析中聚焦以平移和旋转为标准的分类方法。

当学生对④和⑤有争议时，借助直尺和几何画板进行直观展示，利用“直线可以无限延长的特点”明晰位置关系，学会“透过现象看本质”。

（4）观察旋转后的两条直线，揭示“相交”和“不相交”。

2.认识平行

（1）引导学生聚焦在“不相交”这一类，并思考它们有什么特点。

（2）讨论：永不相交。

师：永不相交是什么意思？

生：不管怎么延长，这两条直线是永远也不会相交的。

（师引导学生回顾几何画板上平行线的位置关系，通过课件背景的格子图直观感受平行线间的距离处处相等）

生：它们之间的宽度都是一样的，所以永不相交。

师：像这样的两条直线叫作“平行线”，你能说一说什么叫平行线吗？

生：不相交的两条直线叫作平行线，也可以说这两条直线互相平行。

3.完善概念

（1）我们刚才一起讨论了平行线，看看书上是怎么介绍平行线的。

看了书之后你有要补充的或不明白的地方吗？（指出：同一平面）

（2）借助课件和实物教具，直观认识“同一平面”，并完善概念。

通过上述操作、想象、辨析、明晰等一系列活动，为学生在直观感知和抽象概念之间搭建桥梁，将抽象的概念直观呈现，逐层深入，学生在探究和矛盾中深刻地建立起“平行”的意义，使学生多层次、多角度感悟“平行线”的本质。这一过程，是学生数学思维得以锤炼、发展的过程，对学生形成由表及里的纵深思维具有潜移默化的影响。

二、巧勾连，化单一为系统

学生对概念的认识，也需要随着数学学习程度的提高，由浅入深，逐步深化，由此建立起数学思维。在概念教学中，教师要重视概念的关联，从学生日常生活提取素材，从数学知识体系出发去沟通概念间的联系，处理好概念的阶段性和连续性的关系，让学生在经历概念形成的过程中积累数学活动经验，体会数学与生活的密切联系，感受概念间的密切联系，帮助学生形成完整的、系统的知识。

1.沟通内部联系

现行数学教材在编排时采用螺旋上升的处理原则，对于那些较为抽象或深刻的数学概念，在认识上要经历较长的学习阶段。教学这类概念时，教师应沟通知识点间的密切联系，站在数学知识体系及学生心理的角度，深入分析每一个概念出现的必要性和合理性，从而对学习对象的深度、广度等方面体现出螺旋上升的做法。如在教学“分数的意义”时，教材分两个阶段编排，应分别把握好两个阶段的教学目标。第一阶段编排在三年级，教材从学生的实际出发，让学生在具体操作中认识几分之一和几分之几，在概念的呈现上采用描述式：“像1/2、1/3、1/4、1/5这样的数，就是分数”，再由原来的一个物体或一个图形渐渐地引申到一个整体的几分之几。整体编排借助直观，让学生在经历直观操作的基础上初步认识分数，并尝试解决简单的问题。第二階段编排在五年级，让学生在第一阶段的基础上系统地学习分数，在头脑中建立起“整体意识”，也就是“单位1”，从而明确分数的意义。在概念的呈现上采用定义式：把“单位1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫作分数。这一阶段的认识从直观到抽象，在教学时要注意沟通概念间的内在联系，运用同化概念进行教学，让新概念与学生原有的数学认知结构中的概念相联系，让学生在经历分阶段呈现概念的过程中明确目标、理解深刻，同时帮助学生形成结构化的、系统的知识。学生对这种概念体系印象深刻，同时也获得了精确的、可辨性强的知识。

2.发掘生活背景

在小学数学教材中，许多数学概念都是从我们日常生活中抽象化形成的。教师在教学时要从学生的生活经验和知识经验出发，为他们创设学习数学概念的问题情境，使学生在经历“从生活中来、到生活中去”的过程中体验概念的形成过程，从而促进概念内化，建构数学概念。如在教学《三角形的认识》时，通过列举生活中无处不在的三角形实例，让学生寻找这些实例的共同点，接着围绕问题“三角形在生活中的运用非常广泛，是否与它的特性有联系呢？我们带着这一问题继续今天的学习——三角形的认识”进行展开，然后在让学生经历将实物抽象成三角形的过程中寻找共性并得出三角形的概念，认识三角形各部分名称、用实验的方法验证三角形的稳定性，通过动手实践、对比、辨析三角形具有稳定性的特点，最后再引导学生思考课前情境中各是运用了三角形的什么特性，从而使学生深刻体会数学与生活的密切联系，增强学习动力。

三、多列举，化被动为主动

数学概念往往都是在实践的基础上经过多级的抽象概括产生的，小学生的抽象思维能力还处在发展的过程中，其思维能力以直观、感性为主。因此教师在概念教学中，应尊重学生的认知规律和身心特点，巧妙地引导学生在列举的过程中理解并掌握抽象的概念。

概念抽象需要典型实例，如果教师自己举例、概括，自己给定义，就可能枯燥乏味，学生被动听，参与欲望不强，导致理解不透。如果让学生举例，就能调动学生参与的积极性，迫使学生开动脑筋，百花齐放、生动活泼的场面自然形成，而且在举例过程中，有独立思考、合作交流，甚至有争辩，这就形成了促进概念理解的机制。实际上，概念教学中的“参与”，其关键是参与从典型实例中概括概念本质特征的活动。如在教学《乘法的初步认识》时，让学生通过分一分小棒、写一写算式、给算式分类的过程中初步感知“相同加数”，再让学生在师生互动、生生互动的过程中自主地编含有相同加数的算式、写含有相同加数的算式，当编出9个2相加、51个2相加、95个2相加等算式时，学生感觉到写这样的算式太累了，促使其进一步思考更简洁的表达方式，从而自然地引出“乘法”。学生在列举中主动研究自己、老师或同伴的例子，促进学生的思维深度参与，帮助学生在经历概念的形成过程中感悟概念、积累活动经验。

四、强应用，化知识为能力

让学生在经历应用概念的过程中理解和掌握概念的内涵和外延，既能促进学生对数学概念的深刻理解，又能让学生体验到学习数学概念的价值。教师在概念教学中应重视精心设计一些与概念密切相关的习题，为学生创造举一反三的机会，让学生在理解数学概念的基础上，经历运用概念去解决同类事物的过程。例如，笔者在教学《平均数》一课时，设计如下练习：

（1）下图是艾艾所在小组前3名队员跳远距离的统计图，虚线所在位置能反映他们跳远平均距离的是（     ）。

（2）经过计算，前3名队员跳远的平均距离是168厘米，当轮到艾艾时，他想：如果自己也能跳到168厘米，小组的平均成绩将不变。你认为正确吗？什么情况下他们小组的平均成绩将会发生变化？

（3）梦梦的跳远成绩比艾艾差。艾艾认为：梦梦所在小组的平均成绩肯定比自己所在小组的平均成绩差。他说得对吗？

平均数是统计学中的一个重要概念，它常用于表示统计对象的整体水平，在学生知道了平均数的概念和计算方法后设计这样的练习，让学生在经历概念运用的过程中加深对平均数本质意义和特点的理解。第一题通过选择感受平均数的取值范围，也为“移多补少”方法的应用提供了支撑，学生在加强对平均数理解的同时，数感也得到了培养。第二题让学生在辨析中体会到一组数据的平均数会受到这组数据中每一个数据的影响，感悟到平均数的敏感性。第三题让学生在对比中明白平均数并不是一组数据的每一个数据，其中的数据有可能高于平均数，也有可能低于平均数，这就是平均数的“虚拟性”。概念教学的基本目标是让学生理解并能运用概念表达思想和解决问题，为实现对概念的深度理解，要为学生创设灵活运用概念的机会，让学生在运用的过程中对概念内涵的理解引向深入，积累丰富的数学活动经验，进而深度建构模型。

李邦河院士认为，“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧。技巧不足道也！”任何数学概念的发展、形成，都经历了数学家无数的观察、分析、猜测、实验、判断、辨析、调整、优化等一系列数学思维活动。对这种创造过程的了解，可以让学生体会到一种活的、真正的数学思维过程。从这个意义上说，数学概念的形成过程可以引导我们经历知识的再创造过程。教师应为学生提供参与概念本质特征形成的过程，避免出现概念教学走过场、以解题教学代替概念教学的現象。通过这样的过程，学生不仅能获得知识与技能，而且感悟到知识的产生与发展，习得数学思想方法，积累数学活动经验，从整体上促进学生数学素养的提高。

【参考文献】

[1]杨永丽.新课程理念下概念教学的策略初探[J].小学数学教育，2019（5）.

[2]方家社.基于深度学习理论的小学数学概念教学[J].小学数学教育，2017（7）.

[3]郜舒竹.“概念”的生成过程[J].教学月刊（小学版），2020（4）.

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